Задачи повышенной трудности по математике младшие классы с ответами.

Задача 1.

Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы трех простых чисел?
(порядок слагаемых не важен) 


Ответ: 3 способа.

Задача 2.

Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680.
Какие это могут быть числа?


Ответ: 5, 6, 7, 8 и  – 8,  – 7,  – 6,  – 5.

Задача 3.

На какое наибольшее количество различных прямоугольников с целыми сторонами можно разрезать по линиям сетки квадрат 5 × 5? (Приведите пример)


Ответ: 7 различных прямоугольников.

Задача 4.

Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба.
Он ответил: «Хвост весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост".
Сколько весила рыба?


Ответ: 32 фунта.

Задача 5.

У грибника в корзине подберезовиков на n% меньше, чем подосиновиков.
На сколько процентов n меньше числа процентов, на которое подосиновиков больше, чем подберезовиков?


Ответ: n.

Задача 6.

Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки квадрата 8 × 8?


Ответ: 204 квадрата.

Задача 7.

На гранях кубика написаны шесть различных цифр.
Сумма цифр на противоположных гранях одна и та же для каждой пары параллельных граней.
Каковы остальные три цифры, если три известны:
4, 5 и 8? (Перечислите все возможные варианты).


Ответ: (0, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 6), (3, 6, 7), (3, 7, 9), (6, 7, 9).

Задача 8.

Сколько среди чисел 2x + y, x – y, x – 2y, y – 2x может быть положительных? (Укажите все варианты.)


Ответ: 0, 1, 2 или 3 числа.

Задача 9.

Два равнобедренных треугольника приложили боковыми сторонами друг к другу так, что образовался новый равнобедренный треугольник.
Какими могут быть углы у этого треугольника?


Ответ: 90, 45, 45 и 36, 72, 72 градусов.

Задача 10.

Какое наибольшее натуральное число в записи римскими цифрами начинается на MMX?


Ответ: MMXCIX = 2099.

Задача 11.

Какое наименьшее натуральное число имеет более 12 натуральных делителей?


Ответ: 120.

Задача 12.

Одно круглое бревно весит 30 кг, второе бревно – вдвое толще и вдвое короче.
Сколько весит второе бревно?


Ответ: 60 кг.

Задача 13.

Сколько раз в году может встречаться пятница, 13-е?


Ответ: 1, 2 и 3 раза.

Задача 14.

Вершины выпуклого 2n-угольника пронумеровали, начиная с 1.
Оказалось что общее число его диагоналей кратно числу диагоналей, соединяющих вершины с четными номерами.
Сколько вершин имеет этот многоугольник? Укажите все варианты.


Ответ: 4 и 6.

Задача 15.

Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?


Ответ: 32 числа.

Задача 16.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на стороне BC взяли точки K и M (K ближе к B, чем M) такие,
что KM = AM и углы MAC и KAB равны.
Чему равен угол BAM?


Ответ: 60 градусов.

Задача 17.

В клетках квадрата 3 × 3 расставили цифры 1, 2, 3, …, 9. Затем в каждом из 4 внутренних узлов записали среднее арифметическое окружающих его четырех цифр.
После этого вычислили среднее арифметическое полученных четырех чисел.
Какое наибольшее число может при этом получиться?


Ответ: 6,125 = 6⅛.

Задача 18.

Шестерым братьям вместе 57 лет. Каждый из них, кроме самого старшего, моложе следующего по возрасту брата на одно и то же число.
Самый старший старше самого младшего на столько лет, сколько трем младшим вместе.
Сколько лет каждому?


Ответ: 2, 5, 8, 11, 14 и 17 лет.

Задача 19.

Квадратный лист бумаги перегнули по прямой так, что получился невыпуклый многоугольник.
Какое наибольшее количество сторон у него может быть?


Ответ: 9 сторон.

Задача 20.

45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей.
Сколько конфет можно купить на 50 рублей?


Ответ: 75 штук.